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中考数学五大数学思想方法 你都掌握好了哪些

来源:新浪教育  作者:   2018-03-15 09:53:06
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  很多考生都想学好数学,但苦于不知道如何“下手”,经常花费大量时间去解题做题,效果却差强人意,很难提高数学成绩。

  知识内容和方法技巧的载体是题目,要想掌握好相应的数学知识和方法技巧,就需要去解一定量的题目。不过,大家一定要充分认识到一点,不是你解的题目越多,就会掌握好这些知识内容和方法技巧。

  如很多人只知道数学公式、定理等,却很少知道数学思想方法是数学学习的精髓。无论是中考数学还是高考数学,除了考查大家知识掌握程度,更重要考查大家应用数学知识解决问题的能力,充分运用数学思想去分析、解决具体的问题。

  因此,如何想要在中考数学中取得优异的成绩,就要加深对数学思想方法的理解。初中阶段常用到的数学思想有:数形结合思想、分情况讨论思想、化归思想、函数与方程思想、建立数学模型思想等。

  中考数学常见数学思想方法一:数形结合思想方法

  数形结合思想是说数的问题可以通过对图形的分析来解决,形的问题也可通过对数的研究来思考。

  典型例题分析1:

  在梯形OABC中,CB∥OA,∠AOC=60°,∠OAB=90°,OC=2,BC=4,以点O为原点,OA所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,另有一边长为2的等边△DEF,DE在x轴上(如图(1)),如果让△DEF以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动,开始时点D与点A重合,当点D到达坐标原点时运动停止。

  (1)设△DEF运动时间为t,△DEF与梯形OABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式。

  (2)探究:在△DEF运动过程中,如果射线DF交经过O、C、B三点的抛物线于点G,是否存在这样的时刻t,使得△OAG的面积与梯形OABC的面积相等?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由。

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考点分析:
考点分析:

  二次函数综合题。

  题干分析:

  (1)根据F与B重合前后及E与A重合前后,分三种情况求S关于t的函数关系式;

  (2)依题意得D(4﹣t,0),求出直线OC解析式,根据DF∥OC确定直线DF解析式,再由△OAG的面积与梯形OABC的面积相等,求出G点纵坐标,根据G点在抛物线上求G点横坐标,代入直线DF解析式求t,判断是否符号t的取值范围即可。

  解题反思:

  本题考查了二次函数的综合运用。关键是根据直角梯形的特点求顶点坐标,确定抛物线解析式,根据面积关系,列方程求解。

  中考数学常见数学思想方法二:分类讨论思想

  分情况讨论思想就是当一个问题用统一的方法不能继续做下去的时候,需要对所研究的问题分成若干个情况分别进行研究的思想方法。

  典型例题分析2:

  如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点。P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D。

  (1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);

  (2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;

  (3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2),当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动。请直接写出点H所经过的路径长。(不必写解答过程)

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  二次函数综合题;代数几何综合题;分类讨论。

  题干分析:

  (1)证明Rt△PMC≌Rt△DMB,即可证明DB=2﹣m,AD=4﹣m,从而求解;

  (2)分AP=AD,PD=PA,PD=DA三种情况,根据勾股定理即可求解;(3)运动时,路线长不变,可以取当P在O点是,求解即可。

  解题反思:

  本题是二次函数的综合题型,其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法,在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果。

  中考数学常见数学思想方法三:化归思想方法

  化归思想是说在解决实际问题时常常需要进行等价转换,把生疏的题目转化成熟悉的题目,通过特殊到一般,归纳出事物的规律,并能进行适当的变式变形。

  典型例题3:

  △ABC是一张等腰直角三角形纸板,∠C=Rt∠,AC=BC=2,

  (1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积大?请说明理由。

  (2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为s1;按照甲种剪法,在余下的△ADE和△BDF中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为s2(如图2),则s2=1/2;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为s3,继续操作下去…,则第10次剪取时,s10=1/2;

  (3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和。

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  正方形的性质;勾股定理;等腰直角三角形;规律型。

  题干分析:

  (1)分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积,进行比较即可;

  (2)按图1中甲种剪法,可知后一个三角形的面积是前一个三角形的面积的1/2,依此可知结果;

  (3)探索规律可知:Sn=1/2n-1,依此规律可得第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和。

  解题反思:

  本题考查了正方形的性质,勾股定理,等腰直角三角形的性质,得出甲、乙两种剪法,所得的正方形面积是解题的关键。

  中考数学常见数学思想方法四:函数与方程思想方法

  函数与方程思想就是对于有些数学问题要学会用变量和函数来思考,学会转化未知与已知的关系。

  典型例题4:

  如图所示,二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),另一个交点为B,且与y轴交于点C。

  (1)求m的值;

  (2)求点B的坐标;

  (3)该二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0)使S△ABD=S△ABC,求点D的坐标。

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  二次函数综合题;代数几何综合题;方程思想。

  题干分析:

  (1)由二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0),利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值;

  (2)根据(1)求得二次函数的解析式,然后将y=0代入函数解析式,即可求得点B的坐标;

  (3)根据(2)中的函数解析式求得点C的坐标,由二次函数图象上有一点D(x,y)(其中x>0,y>0),可得点D在第一象限,又由S△ABD=S△ABC,可知点D与点C的纵坐标相等,代入函数的解析式即可求得点D的坐标。

  解题反思:

  此题考查了待定系数法求二次函数的解析式,考查了一元二次方程的解法以及三角形的面积问题等知识。此题综合性较强,但难度不大,属于中档题,解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系,注意数形结合与方程思想的应用。

  中考数学常见数学思想方法五:数学建模思想方法

  数学建模思想是说在具体的问题分析中,尽量通过观察,抽象出主要的参量、参数与有关的定律、原理间建立起的某种关系。这样,一个具体的实际问题就转化为简化明了的一个数学模型。

  典型例题分析5:

  某班到毕业时共结余班费1800元,班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T恤或一本影集作为纪念品。已知每件T恤比每本影集贵9元,用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集。

  (1)求每件T恤和每本影集的价格分别为多少元?

  (2)有几种购买T恤和影集的方案?

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  一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用;应用题。

  题干分析:

  (1)通过理解题意可知本题存在两个等量关系,即每件T恤比每本影集费9元,用200元恰好可以买到2件T恤和5本影集。根据这两个等量关系可列出方程组。

  (2)本题存在两个不等量关系,即设购买T恤t件,购买影集(50﹣t)本,则1800﹣300≤35t+26(50﹣t)≤1800﹣270,根据t为正整数,解出不等式再进行比较即可。

  解题反思:

  本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用,问题(1)在解决时只需认真分析题意,找出本题存在的两个等量关系,根据这两个等量关系可列出方程组。问题(2)需利用不等式解决,另外要注意,同实际相联系的题目,需考虑字母的实际意义,从而确定具体的取值。再进行比较即可知道方案用于购买老师纪念品的资金更充足。

  面对中考复习,除了要掌握知识内容,更要对数学思想方法进行梳理、总结,逐个认识它们的本质特征、思维程序和操作程序。结合典型题目进行训练,能够真正适应中考命题。

  作者:吴国平老师

[ 责任编辑: 李谦 ]

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